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発見

第二版 2017/03/17

 

○約数の個数が素数になる数はどんな数か

まず、素数の約数の個数は2だから素数である。当たり前だよなあ?

更に素数^2も約数の個数は3となり素数

ただし素数^3の約数の個数は4だからのけもの

素数^4→約数の個数5

素数^5→約数の個数6

というふうになっていくので、

素数^(n-1)→約数の個数はnと表せる。

 

ここで約数の個数が素数なんだからnは素数にすればよい。

n=素数ならぱ、素数^(素数-1)=素数と表せる!

 

つまりp,qを素数とすると、

p^(q-1)の約数の個数はq

 

それ以外で約数の個数を見つけよう。

1関連は個数が1なので除外。

小さい自然数6でも約数は1,2,3,6で4こ

 

ていうか約数の個数の公式はa^x•b^y→(x+1)(y+1)だから合成数

よって合成数の累乗の約数の個数も合成数

したがって、p^(q-1)しかない。

 

○約数の個数の約数の個数が素数になる数はどんな数?

 

まず、pを素数として、

p^(q-1)の約数の個数はpですよね?

このとき、約数の個数の約数の個数は2となる。素数やん。

よって、p^(q-1)の約数の個数の約数の個数はp!!おーわり

 

それだけか?

いや、ある。

2だけじゃない!

 

たとえばさっきの6。約数は1,2,3,6だから4こ。だけど、4の約数は!1,2,4で3こ!

6の約数の個数の約数の個数は素数

 

どういうことか、よくわからなくなってきた。

でも注目すべきは約数の個数である。

それらはすべてp^(q-1)である。

 

よって、nを自然数、p,qを素数としたとき、

nの約数の個数がp^(q-1)ならばnの約数の個数の約数の個数はq

 

ちょっと回りくどい気がするが、それが当たりだろう。

手早く約数の個数がp^(q-1)この数を見つけたいなら、p^(p^(q-1)-1)を実行すればよい。ただし、それ以外でも約数の個数がp^(q-1)こになる数はある。6など

 

○約数の個数の約数の個数の約数の個数が素数になるのはどんな数?

 

12などが初めて素数になる。

12の約数の個数は1,2,3,4,6,12で6こ

6の約数の個数は1,2,3,6で4こ

4の約数の個数は1,2,4で3こ

よって12の約数の個数の約数の個数の約数の個数は素数

 

さらに、約数の個数の約数の個数が素数になる数は約数の個数の約数の個数の約数の個数が2になる。

よって以下がわかる。

nの約数の個数の約数の個数がp^(q-1)ならnの約数の個数の約数の個数の約数の個数はp

さらに、nの約数の個数がp^(q-1)ならnの約数の個数の約数の個数の約数の個数は2

 

なぜ2になるかというと、pの約数の個数は2だから。

 

○約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数の個数の約数…

 

ここで、関数ycをつくる。

この関数ycにyc(n)というふうに自然数を入れると、約数の個数を返す。

そしてyc2(n)=yc(yc(n))である。

yc t(n)=yc (yc (yc………yc(n))))))))))))…))))

yc( がt個

入れ子になっています

 

yc(p)=2

yc(p^(q-1))=q

yc2(p^(q-1))=2

 

○我慢強い数

 

約数の個数を決めるのは、素因数分解した時の形だと思う。

 

nの約数の個数…を何度も繰り返してが最初にpになる数を見ていこう。

 

yc(1回)、約数の個数がpになるのはp^(q-1)以外ない(最小:2)

yc2(2回)、約数の個数の約数の個数がpになるのは約数の個数がp^(q-1)個になる数(最小:6)

例えば

n=x.y 例6,15

n=x.x.x 例8,27,125

n=x.x.y.y 例36,225

n=x.x.x.y.y.y 例216

n=x.x.x.x.y.y.y.y 例めんどくさい

n=x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.y.y 例46656

n=x.x.x.y.z 例120

n=x.y.z.a 例210

 

yc3(3回)約数の個数の約数の個数がp^(q-1)個になる数、つまり約数の個数が上の形になるやつ(最小:12)

n=x.x.y 例12,45

n=x.x.x.x.x 例32

n=x.y.y.y 例24,54

n=x.x.y.y.y.y 例めんどくさい

n=x.x.x.y.y.y.y.y.y.y.y 例むりー

>n=x.y.z 例30

n=x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.z.z.a.a.b.b.c.d.e 例3226504881600

 

yc4(4回)約数の個数がうえになるやつ(最小:おそらく60)

n=x.x.y.y.y 例72,108

n=x.y.y.y.y.y 例96

n=x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x 例2048

n=x.x.y.y.y.y.y.y.y 例かんべんして

n=x.x.x.y.y.y.y.y 例むり

n=x.x.x.x.x.x.x.x.y.y.y.y 例むり

n=x.x.y.z 例60

n=x.x.x.y.y.y.z 例1080

 

yc5(5回)約数の個数がうえになるやつ(最小:おそらく5040)

n=x.x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.y.y.y.y 例むり

n=x.x.x.x.x.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y 例むり

n=x.x.x.x.x.y.y.y.y.y.y.y.y.y 例むり

n=x.x.x.x.x.y.y.y.y.z 例むり

n=x.x.x.x.y.y.y.z.z 例10800

n=x.x.x.x.y.y.z.a 例5040

n=x.x.y.y.z.a.b 例13860

n=x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.z.z.a.a.b.b.c.d.e.f 例74209612276800

 

yc6(6回)約数の個数がうえになるやつ(最小:わからない)

n=x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.z.z.a.a.b.c.d.e 例293318625600

 

yc7(7回)約数の個数がうえになるやつ(最小:不明)

↓まだ検証はしていません。

n=x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.y.z.z.z.z.z.z.z.z.z.z.z.z.a.a.a.a.a.a.a.a.a.a.b.b.b.b.b.b.c.c.c.c.c.c.d.d.d.d.e.e.e.e.f.f.g.g.h.h.i.i.j.k.l.m.n.o 例670059168204585168371476438927421112933837297640990904154667968000000000000

 

だいたい5回から大きい数になる。

 

検証…はたしてyc6(293318625600)は素数なのか!?

1回目 293318625600 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 →約数5040個

2回目 5040 = 2^4 * 3^2 * 5 * 7 →約数60個

3回目 60 = 2^2 * 3 * 5 →約数12個

4回目 12 = 2^2 * 3 →約数6個

5回目 6 = 2 * 3 →約数4個

6回目 4 = 2^2 →約数3個(素数

ちゃんと6回で素数になりますね。

 

5040で検証!

1回目 5040 = 2^4 * 3^2 * 5 * 7 →約数60個

2回目 60 = 2^2 * 3 * 5 →約数12個

3回目 12 = 2^2 * 3 →約数6個

4回目 6 = 2 * 3 →約数4個

5回目 4 = 2^2 →約数3個(素数

こっちはちゃんと5回目。

 

○まだ解決していない疑問点

1以外の全ての自然数は約数の個数の約数の個数の…を繰り返すと2になるか。

約数の個数≧約数の個数の約数の個数 は正しいのか

yc4,yc5の最小の自然数は正しいのか