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約数の個数についての考察 PART2

前回はこちらからー

shobonvip.hatenablog.com

残念。パート制ですよ。

 

前回わかったこと

 

「約数の個数の約数の個数…」が素数になる数。

これは何回「約数の個数」を繰り返せばいいか

 

言葉選びが難しく、伝わりにくい。

 

まず、約数の個数を求めるにはどうすればよいか。

例を120として、素因数分解します。

120=2³ * 3 * 5

ここで、素因数分解したものの指数に注目します。

約数の個数は各素因数の指数+1の積です。

ここでは2³ * 3¹ * 5¹ なので、(3+1) * (1+1) * (1+1) = 16

約数の個数は16個になります。

 

では、約数の個数の約数の個数は。

16 = 2⁴

当たり前ですが素因数分解したので2は素数です。

pを素数、nを自然数としたときpⁿの約数の個数はn+1個となります。

なので16の約数の個数は5個

5は素数だから120の約数の個数の約数の個数は素数

 

よって120の約数の個数…を2回繰り返すと素数です

 

約数の個数という単語がしつこいので、前回とは違って直感的にわかりやすい関数を作る。

 

前回のyc関数と似たものが約数関数というもので(この前Wikipedia見てたら見つけた)、d(n)に自然数nを入れると約数の個数を返すらしいです。採用

 

そうだなあ…Dodnとでも名付けましょう(Do divisors number って感じで適当です)

Dodn(n)に2以上の自然数nを入れると、約数の個数を何回繰り返すと最初に素数になるかを返します。

ここで、最初から素数のもの(素数の1乗)は0とします。

素数は0か1かで迷ったのですが、素数と(素数素数-1乗)を区別するために0としました。そちらのほうが都合がいいのです

 

超分かりづらいwので、いくつか例を挙げます

 

例)14 = 2*7 →14の約数の個数は4個=2²→4の約数の個数は3個(3は素数

Dodn(14) = 2 

例2)64 = 2⁶ →64の約数の個数は7個(7は素数

Dodn(64) = 1

例3) 8101 = 素数

Dodn(8101) = 0

 

ここでp,qを素数とすると

Dodn(n) = 0 となるnは、全て素数

Dodn(n) = 1 となるnは、全てp^(q-1)

Dodn(n) = 2 となるnは、全てDodn( d(n) ) = 1

Dodn(n) = 3 となるnは、全てDodn( d(n) ) = 2

Dodn(n) = a となるnは、全てDodn( d(n) ) = a-1

ふおおおおおおおお

 

んで、Dodn(n)の値を100まで計算したわけです。

 

結果(間違いが入っている可能性もあります)

-,0,0,1,0,2,0,2,1,2,(1~10)

0,3,0,2,2,1,0,3,0,3,(11~20)

2,2,0,3,1,2,2,3,0,3,(21~30)

0,3,2,2,2,2,0,2,2,3,(31~40)

0,3,0,3,3,2,0,3,1,3,(41~50)

2,3,0,3,2,3,2,2,0,4,(51~60)

0,2,3,1,2,3,0,3,2,3,(61~70)

0,4,0,2,3,3,2,3,0,3,(71~80)

1,2,0,4,2,2,2,3,0,4,(81~90)

2,3,2,2,2,4,0,3,3,2,(91~100)

多分プログラム書けば自動で結果くれると思うんですけど(名推理)

まだ初心者だからしょうがないね、全部手動です

 

結果:よくわからない!

実は、法則性がまっっっったくわかりません!!

ただ、pとp^(q-1)を区別化したのはおそらく正しかったと思います。

結果としては、4→3で2となったx.y型が一番多かったと思います。

しかも1が2より少ない。2と3も確率で表せるのかな?

 

100までの分布

0: 25個

1: 7個

2: 34個

3: 28個

4: 5個

合計: 99個(1を抜かしている)

 

0は素数の数ですね。素数の個数の式を俺は知らないので、

多分素因数分解の確率もとても難易度が高いものだと思います。

そのうち地道な作業を工夫して1000まで繰り返してまた報告します。

 

#高度合成数

さっきの調査結果で、Dodn(n) = 4となる最小のnを見つけました。

60でした。

Dodn(n) = aとなる最小のnで、わかっているのはa=0,1,2,3の場合でした。

a=0の場合、2

a=1の場合、4

a=2の場合、6

a=3の場合、12

a=4の場合、60

がわかりました。

この事を高度合成数にちなんで高度合成Dodn数と名付け・・・。

 

ここで俺がWikipediaの記事をっと

高度合成数は、自然数でそれ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものらしいですよ。

 

ん?

 

2は… 高度合成数(2番目)

4は… 高度合成数(3番目)

6は… 高度合成数(4番目)

12は… 高度合成数(5番目)

60は… 高度合成数!!!(9番目)

ふああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああ

 

ん?

60の約数の個数は12(高度合成数

12の約数の個数は6(高度合成数

6の約数の個数は4(高度合成数

4の約数の個数は3(素数

ふあああああああああああああああああああああああああああああああああああああああ

 

高度合成数ばっかりやんけ!!

Dodn(n) = aとなる最小のnは、約数の個数が高度合成数であり、自身も高度合成数だった!!

 

としたら、約数を60個持つ最初の合成数も高度合成数であり、Dodn(n)=5となる最小のnでは…!?!?

 

約数を60個持つ最初の合成数:5040(19番目の高度合成数

ふあああああああああああああああああああああああああああああああああああああああ

 

謎、ついに解けたか!?

確かに、5040を素因数分解すると2⁴*3²*5*7 →約数の個数は60。

5040が高度合成数なので、5040がDodn(n)=5となる最小のnで間違いないです!

 

自分の考えが正しければDodn(n)≧6の場合もわかるはず

先日,Dodn(n) = 6となる最小のnを293318625600と予想しました。

それがあってるか、確かめに行きましょう。

それらの探索はかんたん、高度合成数から293318625600を見つければよいのです。

293318625600の約数の個数はすでに5040個と分かっています!

 

もし293318625600がなかったら、293318625600より小さい約数の個数が5040個の自然数が存在します。すでに約数の個数は5040個とわかっているので、それより大きくなることはありません。

 

さて…探しましょう

A002182 - OEIS

 

91番目:293318625600

あったああああああああああああああああああああああ

ふおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお

 

OEISに既出だった件

ごめんなさい。OEISに既出でした。

A036459 - OEIS

ほんと、OEISはなんでもあるなあ(爆)

 

Number of iterations required to reach stationary value when repeatedly applying d, the number of divisors function (A000005).

(翻訳:約数関数の数を繰り返し適用して定常値に達するのに必要な反復回数
だってさw)

今までの手作業が全て無駄になりました。

0, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 

1, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 1, 4,

3, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 4, 1, 4,

1, 4, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 4,

1, 4, 1, 4, 4, 3, 1, 4, 2, 4,

3, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 3, 1, 5,

1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 3, 4,

1, 5, 1, 3, 4, 4, 3, 4, 1, 4,

2, 3, 1, 5, 3, 3, 3, 4, 1, 5,

3, 4, 3, 3, 3, 5, 1, 4, 4

定常値 1の定常値=1 2以上の自然数の定常値=2なんすねえ、頭がいい

3以降は基本的にDodn(n)の値に1を加えただけです。素数はただの通過点にすぎなかった…!?

まあ素数の約数の個数は2だししょうがないね

 

更に既出!!高度合成Dodn数もあったw

A251483 - OEIS

Position of first occurrence of n in A036459.

(翻訳:A036459にnが最初に出現する位置。)

ちなみにA036459はさっきのやつです。

いやあ、本当OEISはなんでもあるなあ(爆)

 

1, 3, 4, 6, 12, 60, 5040, 293318625600, 635197862493622653217009501211465321419691071212633792891415680000000000

 

そして予想していた670059168204585168371476438927421112933837297640990904154667968000000000000とは違った。

 

予想したそれは、293318625600を素因数分解して脳筋的に約数の個数を293318625600個にしただけだ。

 しかし、脳筋のやり方でやった結果もOEISもあった(どんだけあるねん)

 

A009287 - OEIS

a(1) = 3; thereafter a(n+1) = least k with a(n) divisors.

(翻訳:a(1) = 3とする。 その後、a(n+1)はa(n)の約数の個数を持つ最小のkとなる。)

3, 4, 6, 12, 60, 5040, 293318625600, 670059168204585168371476438927421112933837297640990904154667968000000000000

まんまやんけ

 

そして、予想していたやつと本当の293318625600個の約数の個数を持つ彼、どこが違ったのか。

素因数分解で明かしたいと思う。

670059168204585168371476438927421112933837297640990904154667968000000000000 = 2¹⁸×3¹⁶×5¹²×7¹⁰×11⁶×13⁶×17⁴×19⁴×23²×29²×31²×37²×41×43×47×53×59×61

635197862493622653217009501211465321419691071212633792891415680000000000 = 2¹⁶×3¹²×5¹⁰×7⁶×11⁶×13⁴×17⁴×19²×23²×29²×31²×37²×41²×43×47×53×59×61×67×71×73×79

ここで7以下の素因数の指数を見てください。

2,3,5,7の指数を減らした代わりに67より後をおいてますね。

これは元の293318625600がバケモンみたいな素因数分解を持ってるからできる話ですが…

 

これは…

もしも分布など話が進んだら再び更新したいと思います

おそらく、これが一応の最終回です。

ありがとうございました!